随机微分方程

wangzhelanmeng

随机微分方程是微分方程的扩展。一般微分方程的对象为可导函数，并以其建立等式。然而，随机过程函数本身的导数不可定义，是故一般解微分方程的概念不适用于随机微分方程。随机微分方程多用于对一些多样化现象进行建模，比如不停变动的股票价格，部分物理现象如热扰动等。

随机微分方程的概念最早以布朗运动的形式，由阿尔伯特·爱因斯坦在《热的分子运动论所要求的静液体中悬浮粒子的运动》论文中提出。这项研究随后由保罗·朗之万继续。此后伊藤清和鲁斯兰斯特拉托诺维奇（英语：Ruslan Stratonovich）完善了随机微分方程的数学基础，使得这门领域更加的科学严谨。

一般而言，随机微分方程的解是一随机过程函数，但解方程需要先定义随机过程函数的微分。最常见的定义为根据伊藤清所创，假设B为布朗运动，则对于某函数H，作以下定积分之定义：

{\displaystyle \int _{0}^{t}H\,dB=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{t_{i-1},t_{i}\in \pi _{n}}H_{t_{i-1}}(B_{t_{i}}-B_{t_{i-1}}).}

此称为伊藤积分。伊藤式的随机微分方程常用于在金融数学中。

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